ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA. La información disponible sobre la civilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para ser considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático. Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos.
Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones.
Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.
MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Bajo esta denominación se engloban los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar.
Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas.
Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división.
Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=c mediante el cambia de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de pi igual a 3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.
CHINA ANTIGUA. Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.
El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.
Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento.
INDIA ANTIGUA. Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad en la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.
GRECIA La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.
Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad.
La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.
Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.
